A model-free no-arbitrage price bound for variance options

In the framework of Galichon, Henry-Labordère and Touzi, we consider the model-free no-arbitrage bound of variance option given the marginal distributions of the underlying asset. We first make some approximations which restrict the computation on a bounded domain. Then we propose a gradient projection algorithm together with a finite difference scheme to approximate the bound. The general convergence result is obtained. We also provide a numerical example on the variance swap option.Variance option ; model-free price bound ; gradient projection algorithm.

Monotonicity condition for the θ\theta-scheme for diffusion equations

We derive the necessary and sufficient condition for the $L^{\infty}-$monotonicity of finite difference $\theta$-scheme for a diffusion equation. We confirm that the discretization ratio $\Delta t = O(\Delta x^2)$ is necessary for the monotonicity except for the implicit scheme. In case of the heat equation, we get an explicit formula, which is weaker than the classical CFL condition.

First and second order optimality conditions for optimal control problems of state constrained integral equations

This paper deals with optimal control problems of integral equations, with initial-final and running state constraints. The order of a running state constraint is defined in the setting of integral dynamics, and we work here with constraints of arbitrary high orders. First and second-order necessary conditions of optimality are obtained, as well as second-order sufficient conditions

A model-free no-arbitrage price bound for variance options

International audienceIn the framework of Galichon, Henry-Labordère and Touzi, we consider the model-free no-arbitrage bound of variance option given the marginal distributions of the underlying asset. We first make some approximations which restrict the computation on a bounded domain. Then we propose a gradient projection algorithm together with a finite difference scheme to approximate the bound. The general convergence result is obtained. We also provide a numerical example on the variance swap option.Dans le cadre de Galichon, Henry-Labordère et Touzi, nous considérons la borne sans arbitrage, indépendante d'un modèle, étant donné la distribution marginale du sous-jacent. Nous restreignons d'abord le calcul à un domaine borné. Puis nous proposons un algorithme de gradient avec projection, combiné à un schéma de différences finies, pour approcher la borne. Nous obtenons un résultat général de convergence, puis traitons un exemple numérique d'option sur swap

Characterization of a local quadratic growth of the Hamiltonian for control constrained optimal control problems

International audienceWe consider an optimal control problem with inequality control constraints given by smooth functions satisfying the hypothesis of linear independence of gradients of active constraints. For this problem, we formulate a generalization of strengthened Legendre condition and prove that this generalization is equivalent to the condition of a local quadratic growth of the Hamiltonian subject to control constraints.Nous considérons un problème de commande optimale avec inégalités sur la commande définies par des fonctions lisses satisfaisant l'hypothèse d'indépendance linéaire des gradients des contraintes actives. Pour ce problème, nous formulons une généralisation de la condition de Legendre forte, et prouvons que cette généralisation est équivalente à la croissance quadratique du hamiltonien soumise aux contraintes sur la commande

Second-order necessary conditions in Pontryagin form for optimal control problems

International audienceIn this report, we state and prove first- and second-order necessary conditions in Pontryagin form for optimal control problems with pure state and mixed control-state constraints. We say that a Lagrange multiplier of an optimal control problem is a Pontryagin multiplier if it is such that Pontryagin's minimum principle holds, and we call optimality conditions in Pontryagin form those which only involve Pontryagin multipliers. Our conditions rely on a technique of partial relaxation, and apply to Pontryagin local minima.Dans ce rapport, nous énonçons et prouvons des conditions nécessaires du premier et second ordre sous forme Pontryaguine pour des problèmes de commande optimale avec contraintes pures sur l'état et mixtes sur l'état et la commande. Nous appelons multiplicateur de Pontryaguine tout multiplicateur de Lagrange pour lequel le principe de Pontryaguine est satisfait et parlons de conditions d'optimalité sous forme Pontryaguine si elles ne font intervenir que des multiplicateurs de Pontryaguine. Nos conditions s'appuient sur une technique de relaxation partielle et sont valables pour des minima de Pontryaguine

Sensitivity analysis for the outages of nuclear power plants

International audienceNuclear power plants must be regularly shut down in order to perform refueling and maintenance operations. The scheduling of the outages is the first problem to be solved in electricity production management. It is a hard combinatorial problem for which an exact solving is impossible. Our approach consists in modelling the problem by a two-level problem. First, we fix a feasible schedule of the dates of the outages. Then, we solve a low-level problem of optimization of elecricity production, by respecting the initial planning. In our model, the low-level problem is a deterministic convex optimal control problem. Given the set of solutions and Lagrange multipliers of the low-level problem, we can perform a sensitivity analysis with respect to dates of the outages. The approximation of the value function which is obtained could be used for the optimization of the schedule with a local search algorithm.Les centrales nucléaires doivent être régulièrement arrêtées afin de réaliser des opérations de maintenance et de rechargement en combustible nucléaire. La planification de ces arrêts constitue le premier problème à résoudre en gestion de la production d'électricité. C'est un problème combinatoire difficile qui ne peut être résolu exactement. Notre approche consiste à modéliser ce problème par un problème à deux niveaux. Tout d'abord, nous fixons un calendrier admissible des dates des arrêts des centrales. Puis, nous résolvons un sous-problème de production d'électricité, en respectant le calendrier initial. Dans notre modèle, ce sous-problème est un problème de contrôle optimal déterministe et convexe. Etant donnés les solutions et multiplicateurs de Lagrange du sous-problème, nous pouvons réaliser une analyse de sensibilité par rapport aux dates des arrêts. L'approximation de la fonction valeur que nous obtenons devrait permettre de mettre en place un algorithme de recherche locale pour l'optimisation de ces dates d'arrêts

Asymptotic expansion of the optimal control under logarithmic penalty: worked example and open problems

We discuss the problem of expansion of optimal control, state and costate when a logarithmic penalty is applied to constraints. We show that, in a simple case, that the variation of (a regular) junction point, and of the optimal control, state and costate is of order \eps\log \eps, where \eps is the penalty parameter

On the time discretization of stochastic optimal control problems: The dynamic programming approach

In this work, we consider the time discretization of stochastic optimal control problems. Under general assumptions on the data, we prove the convergence of the value functions associated with the discrete time problems to the value function of the original problem. Moreover, we prove that any sequence of optimal solutions of discrete problems is minimizing for the continuous one. As a consequence of the Dynamic Programming Principle for the discrete problems, the minimizing sequence can be taken in discrete time feedback form.Fil: Joseph Frédéric, Bonnans. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique; Francia. Centre National de la Recherche Scientifique; Francia. Université Paris-Saclay; FranciaFil: Gianatti, Justina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Rosario. Centro Internacional Franco Argentino de Ciencias de la Información y de Sistemas. Universidad Nacional de Rosario. Centro Internacional Franco Argentino de Ciencias de la Información y de Sistemas; ArgentinaFil: Silva, Francisco J.. Centre National de la Recherche Scientifique; Francia. Universite de Limoges; Franci